题目

题型：吉林省月考题难度：来源：

已知f（x）=e^x﹣ax﹣1．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）求证：e^x＞x+1（x≠0）．

答案

（1）解：∵f（x）=e^x﹣ax﹣1，
∴f"（x）=e^x﹣a
令f"（x）≥0得e^x≥a，
当a≤0时，f"（x）＞0在R上恒成立，
当a＞0时，得x≥lna，
综上所述：当a≤0时f（x）的单调增区间是（﹣∞，+∞）；
当a＞0时f（x）的单调增区间是（lna，+∞）
（2）证明：设g（x）=e^x﹣x﹣1，则
由g"（x）=e^x﹣1＞0解得x＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上递增，在（﹣∞，0）上递减；
∴总有g（x）＞g（0）=0
即e^x﹣x﹣1＞0，
∴e^x＞x+1（x≠0）