题目
题型:山东省期末题难度:来源:
①f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;
②f′(x)是偶函数;
③f(x)在x=0处的切线与直线y=x+2垂直.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)设g(x)=4lnx﹣m,若存在x∈[1,e],使g(x)<f′(x),求实数m的取值范围.
答案
∵f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,
∴f"(1)=3a+2b+c=0…①
由f"(x)是偶函数得:b=0 ②
又f(x)在x=0处的切线与直线y=x+2垂直,f"(0)=c=﹣1③
由①②③得:,
即
(2)由已知得:若存在x∈[1,e],使4lnx﹣m<x2﹣1,
即存在x∈[1,e],使m>4lnx﹣x2+1,
设,
则
令M"(x)=0,
∵x∈[1,e],
∴
当时,M"(x)≤0,
∴M(x)在上为减函数
当时,M"(x)>0,
∴M(x)在上为增函数
∴M(x)在[1,e]上有最大值.
又M(1)=1﹣1=0,M(e)=2﹣e2<0,
∴M(x)最小值为2﹣e2
于是有m>2﹣e2为所求.
核心考点
试题【定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件: ①f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数; ②f′(x)是偶函数;③f(】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)设h(x)=f(x+1)﹣g"(x)(其中g"(x)是g(x)的导函数),求h(x)的最大值;
(2)证明:当0<b<a时,求证:f(a+b)﹣f(2b)<;
(3)设k∈Z,当x>1时,不等式k(x﹣1)<xf(x)+3g"(x)+4恒成立,求k的最大值.
B.(0,1]
C.(﹣1,0)∪(0,1)
D.(﹣1,0)∪(0,1 ]
(1)求f(x)在[﹣1,1]上的解析式;
(2)求函数f(x)的值域.
B.c>b>a
C.b>a>c
D.a>c>b
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