题目
题型:月考题难度:来源:
已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g(x﹣1)+g(1﹣x)=x2﹣2x﹣1,且g(1)=﹣1.令.
(1)求g(x)的表达式;
(2)若x>0使f(x)≤0成立,求实数m的取值范围;
(3)设1<m≤e,H(x)=f(x)﹣(m+1)x,证明:对x1,x2∈[1,m],恒有|H(x1)﹣H(x2)|<1.
答案
g(x﹣1)+g(1﹣x)=2a(x﹣1)2+2c=2(x﹣1)2﹣2,
所以
又g(1)=﹣1,则.
所以.
(2).
当m>0时,由对数函数性质,f(x)的值域为R;
当m=0时,,对x>0,f(x)>0恒成立;
当m<0时,由,
列表:
.
.
所以若x>0,f(x)>0恒成立,则实数m的取值范围是(﹣e,0].
故x>0使f(x)≤0成立,实数m的取值范围(﹣∞,﹣e]∪(0,+∞).
(3)因为对x∈[1,m],,
所以H(x)在[1,m]内单调递减.
于是.
.
记,
则,
所以函数在(1,e]是单调增函数,
所以,,故命题成立.
核心考点
试题【已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g(x﹣1)+g(1﹣x)=x2﹣2x﹣1,且g(1)=﹣1.令.(1)求g(x)的表达式;(2)若x>0使f(x)≤0成】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若f(x)在上存在单调递增区间,求a的取值范围.
(2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]的最小值为,求f(x)在该区间上的最大值
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数 在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围;
(Ⅲ)求证:
(1)若b=﹣4,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求b的取值范围;
(3)若b=﹣1,证明对任意n∈N+,不等式…都成立.
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