题目

题型：不详难度：来源：

已知a，b∈R+，函数f(x)=

ax+1+bx+1

ax+bx

(x∈R)．
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）比较

a2+b2

a+b

与

ab

的大小．

答案

（1）函数f(x)=

ax+1+bx+1

ax+bx

(x∈R)递增函数，证明如下：
设x＜y，则x-y＜0，f(x)-f(y)=

(a-b)(ax-y-bx-y)ayby

(ax+bx)(ay+by)

，
①当a=b时，f（x）为常数函数，此时不单调．
②若a＞b，则a-b＞0，a^x-y＜b^x-y，a^x-y-b^x-y＜0，所以f（x）＜f（y），
此时函数f(x)=

ax+1+bx+1

ax+bx

(x∈R)递增函数．
③当a＜b，则a-b＜0，a^x-y＞b^x-y，a^x-y-b^x-y＞0，所以f（x）＜f（y），
此时函数f(x)=

ax+1+bx+1

ax+bx

(x∈R)递增函数．
（2）

a2+b2

a+b

-

ab

=

a2+b2-a ab -b ab

a+b

=

a2+b2-a 3 2 b 1 2 -a 1 2 b 3 2

a+b

=

(a 3 2 -b 3 2 )(a 1 2 -b 1 2 )

a+b

，
因为幂函数x

3

2

，x

1

2

在（0，+∞）上单调递增，具有相同的单调性．
所以当a=b时，

a2+b2

a+b

=

ab

．
当a≠b时，

a2+b2

a+b

＞

ab

．