题目

题型：不详难度：来源：

一元三次函数f（x）的三次项系数为

a

3

，f′（x）+9x＜0的解集为（1，2），
（1）若f′（x）+7a=0，求f′（x）的解析式；
（2）若f（x）在R上单调增，求a的范围．

答案

解∵一元三次函数f（x）的三次项系数为

a

3

，
设f（x）=

a

3

x³+bx²+cx+d，∴f"（x）=ax²+2bx+c
∵f′（x）+9x=ax²+2bx+c+9x＜0的解集为（1，2），
∴f′（x）+9x=ax²+2bx+c+9x=a（x-1）（x-2）＜0
b=-

9+3a

2

，c=2a（a＞0）
（1）由上f"（x）+7a=ax²-（9+3a）x+9a=0成立
∴△=（9+3a）²-36a²≥0
∴-1≤a≤3又因为a＞0∴0＜a≤3
∴f′（x）=ax²-（9+3a）x+2a（0＜a≤3）
（2）∵f（x）在R上单调增，
∴f"（x）=ax²-（9+3a）x+2a≥0在R上恒成立
∴△=（9+3a）²-8a²=a²+54a+81≤0
∴-27-18

2

 ≤a≤-27+18

2

又因为a＞0∴0＜a≤-27+18

2