设a∈R，函数f（x）=ax3-3x2．（Ⅰ）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f"（x），x∈[0，2]，在x=0 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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设a∈R，函数f（x）=ax³-3x²．
（Ⅰ）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f"（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求a的取值范围．

答案

（Ⅰ）f"（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
因为x=2是函数y=f（x）的极值点，所以f"（2）=0，即6（2a-2）=0，因此a=1．
经验证，当a=1时，x=2是函数y=f（x）的极值点．
（Ⅱ）由题设，g（x）=ax³-3x²+3ax²-6x=ax²（x+3）-3x（x+2）．
当g（x）在区间[0，2]上的最大值为g（0）时，g（0）≥g（2），
即0≥20a-24．
故得a≤

．
反之，当a≤

时，对任意x∈[0，2]，g(x)≤

x2(x+3)-3x(x+2)=

(2x2+x-10)=

(2x+5)(x-2)≤0，
而g（0）=0，故g（x）在区间[0，2]上的最大值为g（0）．
综上，a的取值范围为(-∞，

]．

核心考点

试题【设a∈R，函数f（x）=ax3-3x2．（Ⅰ）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f"（x），x∈[0，2]，在x=0】；主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x），且f（x）=a^xg（x）（a＞0且a≠1，

f(1)

g(1)

f(-1)

g(-1)

，对于有穷数列

f(n)

g(n)

=(n=1，2，…0)，任取正整数k（1≤k≤10），则前k项和大于

的概率是（　　）

A．

B．

C．

D．

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已知函数f(x)=ax2+lnx，f1(x)=

x2+

lnx，f2(x)=

x2+2ax，a∈R
（1）求证：函数f（x）在点（e，f（e））处的切线横过定点，并求出定点的坐标；
（2）若f（x）＜f₂（x）在区间（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）当a=

时，求证：在区间（1，+∞）上，满足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个．

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已知f（x）=x³-ax²-3x
（1）若f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在[1，a]上的最小值和最大值．

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设函数f（x）=（x-a）²（x+b）e^x，a、b∈R，x=a是f（x）的一个极大值点；
（Ⅰ）若a=0，求b的取值范围；
（Ⅱ）当a是给定的实常数，设x₁x₂x₃是f（x）的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x₄∈R，使得x₁，x₂，x₃，x₄的某种排列x₁，x₂，x₃，x₄（其中{i₁，i₂，i₃}={1，2，3，4}）依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的x₄；若不存在，说明理由、

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函数y=x-2sinx在（0，π）上的单调递减区间为______．

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