题目
题型:江苏二模难度:来源:
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(1)求证:函数f(x)在点(e,f(e))处的切线横过定点,并求出定点的坐标;
(2)若f(x)<f2(x)在区间(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围;
(3)当a=
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答案
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x |
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e |
所以f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y=(2ae+
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e |
整理得y-
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e |
e |
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e |
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(2)令p(x)=f(x)-f2(x)=(a-
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因为p′(x)=(2a-1)x-2a+
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x |
(2a-1)x2-2ax+1 |
x |
(x-1)[(2a-1)x-1] |
x |
令p"(x)=0,得极值点x1=1,x2=
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2a-1 |
①当
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此时p(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有p(x)∈(p(x2),+∞),不合题意;
②当a≥1时,有x2<x1=1,同理可知,p(x)在区间(1,+∞)上,有p(x)∈(p(1),+∞),也不合题意;
③当a≤
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从而p(x)在区间(1,+∞)上是减函数;
要使p(x)<0在此区间上恒成立,只须满足p(1)=-a-
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所以-
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综上可知a的范围是[-
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(3)当a=
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记y=f2(x)-f1(x)=
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因为y′=
2x |
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9x |
6x2-5 |
9x |
所以f2(x)-f1(x)>f2(1)-f1(1)=
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所以在区间(1,+∞)上,满足f1(x)<g(x)<f2(x)恒成立的函数g(x)有无穷多个.
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax2+lnx,f1(x)=16x2+43x+59lnx,f2(x)=12x2+2ax,a∈R(1)求证:函数f(x)在点(e,f(e))处的】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若f(x)在[2,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在[1,a]上的最小值和最大值.
(Ⅰ)若a=0,求b的取值范围;
(Ⅱ) 当a是给定的实常数,设x1x2x3是f(x)的3个极值点,问是否存在实数b,可找到x4∈R,使得x1,x2,x3,x4的某种排列x1,x2,x3,x4(其中{i1,i2,i3}={1,2,3,4})依次成等差数列?若存在,求所有的b及相应的x4;若不存在,说明理由、
(1)试问该函数能否在x=-1处取到极值?若有可能,求实数p的值;否则说明理由;
(2)若该函数在区间(-1,+∞)上为增函数,求实数p的取值范围.
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