题目

题型：不详难度：来源：

已知曲线y=（a-3）x³+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x³-ax²-3x+1在[1，2]上单调递增，则a的范围为______．

答案

∵曲线y=（a-3）x³+lnx存在垂直于y轴的切线，
∴f（x）函数在某一个点处的导数等于零．
由函数的表达式可知f（x）的定义域为x＞0，
∵y′=3(a-3)x2+

1

x

，
∴方程3（a-3）x²+

1

x

=0有解，
等价于3（a-3）x³+1=0有解时求a的范围，
∴a＜3；
∵f（x）=x³-ax²-3x+1，
∴f′（x）=3x²-2ax-3，其对称轴为x=

a

3

，
∵函数f（x）=x³-ax²-3x+1在[1，2]上单调递增，
∴3-2a-3≥0，解得a≤0，
综上，a的范围为（-∞，0]．
故答案为：（-∞，0]．