题目
题型:不详难度:来源:
x |
ex |
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)-k只有一个零点,求实数k的取值范围;
(Ⅲ)求证
e(en-1)-n(e-1) |
(e-1)2en |
n |
e |
答案
x |
ex |
ex-xex |
(ex)2 |
1-x |
ex |
当x<1时,f′(x)>0,f(x)是单调递增,当x>1时,f′(x)<0,f(x)是单调递减.
所以f(x)的递增区间是(-∞,1],递减区间是[1,+∞). …3分
(Ⅱ)①当k≤0时,有2k<ln2,∴e2k<2,∴
2 |
e2k |
2k |
e2k |
因此f(2k)≤k≤0=f(0),等号在k=0时成立.
若k<0,由f(x)在(-∞,1]上递增知,存在唯一的x0∈(2k,0),使得f(x0)=k.
又x>0时,f(x)>0,所以当k≤0时,f(x)-k只有一个零点.…5分
②由(Ⅰ)知,f(x)max=f(1)=
1 |
e |
1 |
e |
③当0<k<
1 |
e |
若x>1,设g(x)=kex-x,则g′(x)=kex-1,∴1<x<ln
1 |
k |
1 |
k |
1 |
k |
1 |
k |
设h(x)=lnx-x,则h′(x)=
1-x |
x |
∴g(ln
1 |
k4 |
1 |
k4 |
1 |
k4 |
1 |
k3 |
1 |
k |
1 |
k3 |
4 |
k |
(1+2k)(1-2k) |
k3 |
所以,在区间(ln
1 |
k |
1 |
k4 |
x2 |
ex2 |
因为f(x)在(1,+∞)上递减,所以存在唯一x2∈(1,+∞),使得g(x2)=0,即f(x2)=k.
所以f(x)-k在有两个零点.
综上所述,实数k的取值范围是(-∞,0]∪{1}.…10分
(Ⅲ)证明:设an=f(n),Sn=a1+a2+…+an,则an=
n |
en |
1 |
e |
2 |
e2 |
3 |
e3 |
n |
en |
∴
1 |
e |
1 |
e2 |
2 |
e3 |
3 |
e4 |
n-1 |
en |
n |
en+1 |
∴(1-
1 |
e |
1 |
e |
1 |
e2 |
1 |
e3 |
1 |
en |
n |
en+1 |
| ||||
1-
|
n |
an+1 |
∴Sn=
e(en-1)-n(e-1) |
en(e-1)2 |
由(Ⅰ)知f(x)max=f(1)=
1 |
e |
1 |
e |
1 |
e |
n |
e |
∴
e(en-1)-n(e-1) |
en(e-1)2 |
n |
e |
核心考点
试题【已知 f(x)=xex(e是自然对数的底数),(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若f(x)-k只有一个零点,求实数k的取值范围;(Ⅲ)求证e(en-1)-n(e】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
a(x-1) |
x+1 |
(1)若函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,求a的取值范围;
(2)设m,n∈R,且m≠n,求证
m-n |
lnm-lnn |
m+n |
2 |
1 |
2 |
(1)设f(x)=g1(x)-g2(x),求函数f(x)的单调区间;
(2)设函数g1(x)的图象曲线C1与函数g2(x)的图象c2交于的不同两点A、B,过线段AB的中点作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N.证明:C1在M处的切线与C2在N处的切线不平行.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求f(x)的最大值与最小值.
a |
3 |
a+1 |
2 |
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=5x-4,求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)当a>0时,讨论函数f(x)的单调性.
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