函数f（x）=x3+ax2+bx+c，过曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））的切线方程为y=3x+1．
（Ⅰ）若y=f（x）在x=-2时有极值，求f （x）的表达式；
（Ⅱ）在（1）的条件下，求y=f（x）在[-3，1]上最大值；
（Ⅲ）若函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，求b的取值范围． |
解（Ⅰ）
| | 由f(x)=x3+ax2+bx+c求导数得f′(x)=3x2+2ax+b | | 过y=f(x)上点P(1，f(1))的切线方程为： | | y-f(1)=f′(1)(x-1)即y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1) | | 而过y=f(x)上P(1，f(1))的切线方程为：y=3x+1 | | 故，即 | | ∵y=f(x)在x=-2时有极值，故f′(-2)=0 | | ∴-4a+b=-12…(3) | | 由(1)(2)(3)相联立解得a=2，b=-4，c=5 | | f(x)=x3+2x2-4x+5…(4分) |
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（Ⅱ）f"（x）=3x2+2ax+b=3x2+4x-4=（3x-2）（x+2）
| x | [-3，-2） | -2 | (-2，) | | (，1] | | f"（x） | + | 0 | - | 0 | + | | f（x） | | 极大 | | 极小 | |
核心考点
试题【函数f（x）=x3+ax2+bx+c，过曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））的切线方程为y=3x+1．（Ⅰ）若y=f（x）在x=-2时有极值，求f （x）的】；主要考察你对 函数的单调性与导数等知识点的理解。 [详细]举一反三
| 已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）在x=-2处取极值为1，则ab=______． | 已知函数f（x）=1+3x-x3
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数的极大值和极小值． | 已知函数f(x)=x+，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（Ⅰ）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）是否存在正实数a，使对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由． | 已知函数f（x）=x4+ax2+b的图象在点（1，f（1））处与直线y=-4x+2相切．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
（Ⅲ）求函数f（x）在区间[-m，m]（m＞0）上的最大值和最小值． | 设函数f（x）=x2+bln（x+1），
（1）若对定义域的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；
（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围． |
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