题目
题型:广州二模难度:来源:
a2 |
x |
(Ⅰ)若x=1是函数h(x)=f(x)+g(x)的极值点,求实数a的值;
(Ⅱ)是否存在正实数a,使对任意的x1,x2∈[1,e](e为自然对数的底数)都有f(x1)≥g(x2)成立,若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,说明理由.
答案
a2 |
x |
a2 |
x2 |
1 |
x |
∵x=1是函数h(x)的极值点,∴h"(1)=0,即3-a2=0,∵a>0,∴a=
3 |
经检验,当a=
3 |
3 |
(2)假设存在实数a,对任意的x1,x2∈[1,e]都有f(x1)≥g(x2)成立,
等价于对任意的x1,x2∈[1,e]时,都有[f(x)]min≥[g(x)]max,当x∈[1,e]时,g′(x)=1+
1 |
x |
∴函数g(x)=x+lnx在[1,e]上是增函数.∴[g(x)]max=g(e)=e+1.
∵f′(x)=1-
a2 |
x2 |
(x+a)(x-a) |
x2 |
①当0<a<1且x∈[1,e]时,f′(x)=
(x+a)(x-a) |
x2 |
∴函数f(x)=x+
a2 |
x |
由1+a2≥e+1,得 a≥
e |
②当1≤a≤e时,
若1≤x<a,则f′(x)=
(x+a)(x-a) |
x2 |
(x+a)(x-a) |
x2 |
∴函数f(x)=x+
a2 |
x |
∴[f(x)]min=f(a)=2a.2a≥e+1,得 a≥
e+1 |
2 |
e+1 |
2 |
③当a>e且x∈[1,e]时,f′(x)=
(x+a)(x-a) |
x2 |
∴函数f(x)=x+
a2 |
x |
a2 |
e |
由e+
a2 |
e |
e |
综上所述,存在正实数a的取值范围为 [
e+1 |
2 |
核心考点
试题【已知函数f(x)=x+a2x,g(x)=x+lnx,其中a>0.(Ⅰ)若x=1是函数h(x)=f(x)+g(x)的极值点,求实数a的值;(Ⅱ)是否存在正实数a,】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间.
(Ⅲ)求函数f(x)在区间[-m,m](m>0)上的最大值和最小值.
(1)若对定义域的任意x,都有f(x)≥f(1)成立,求实数b的值;
(2)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数b的取值范围.
1 |
4 |
9 |
2 |
(I)证明:-27<c<5;
(II)若存在实数c,使函数f(x)在区间[a,a+2]上单调递减,求a的取值范围.
ax |
x2+2 |
1 |
9 |
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