由题意可得：f′(x)=

1

x+a

+2x，
因为当x=-1时，f（x）取得极值，
所以有f"（-1）=0，
解得：a=

3

2

，…（3分）
可得f(x)=ln(x+

3

2

)+x2，定义域为（-

3

2

，+∞），…（4分）
所以f′(x)=

2x2+3x+1

x+ 3 2

=

(2x+1)(x+1)

x+ 3 2

，…（5分）
所以当 -

3

2

＜x＜-1时，f"（x）＞0；当 -1＜x＜-

1

2

时，f"（x）＜0；当 x＞-

1

2

时，f"（x）＞0．
所以可得下表：

x	(- 3 2 ，-1)	-1	(-1，- 1 2 )	- 1 2	(- 1 2 ，+∞)
f"（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗
若函数f(x)= 1 3 x3-(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2在R上是增函数， 则实数m的取值范围是______．
求f（x）=x3-15x2-33x+6的单调区间．
设a＞0，函数f(x)= 1 2 x2-4x+aln2x． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）当x=3时，函数 f（x）取得极值，证明：当θ∈[0， π 2 ]时，|f(1+2cosθ)-f(1+2sinθ)|≤4-3ln3．
已知函数f（x）=ln（x+1）- kx x+1 （k为常数） （1）求f（x）的单调区间； （2）求证不等式 x ln(x+1) -1＜ x 2 在x∈（0，1）时恒成立．
设a＞0，函数 f（x）= ex x2+a ． （Ⅰ）求函数 f（x） 的单调区间； （Ⅱ）当 x= 1 2 时，函数f（x） 取得极值，证明：对于任意的 x1，x2∈[ 1 2 ， 3 2 ]；|f（x1）-f（x2）|≤ 3-e 3 a ．