题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)若x=
2 |
3 |
(Ⅱ)若y=f(x)在[1,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若a=-1使,方程f(1-x)-(1-x)3=
b |
x |
答案
a |
ax+1 |
x[3ax2+(3-2a)x-(a2+2)] |
ax+1 |
∵x=
2 |
3 |
2 |
3 |
∴3a(
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
又当a=0时,f"(x)=x(3x-2),从而x=
2 |
3 |
(II)因为f(x)在[1,+∞)上为增函数,
所以
x[3ax2+(3-2a)x-(a2+2)] |
ax+1 |
若a=0,则f"(x)=x(3x-2),此时f(x)在[1,+∞)上为增函数成立,故a=0符合题意
若a≠0,由ax+1>0对x>1恒成立知a>0.
所以3ax2+(3-2a)x-(a2+2)≥0对x∈[1,+∞)上恒成立.
令g(x)=3ax2+(3-2a)x-(a2+2),其对称轴为x=
1 |
3 |
1 |
2a |
因为a>0,所以
1 |
3 |
1 |
2a |
1 |
3 |
所以只要g(1)≥0即可,即-a2+a+1≥0成立
解得
1-
| ||
2 |
1+
| ||
2 |
又因为a>0,所以0<a≤
1+
| ||
2 |
综上可得0≤a≤
1+
| ||
2 |
(III)若a=-1时,方程f(1-x)-(1-x)3=
b |
x |
可得lnx-(1-x)2+(1-x)=
b |
x |
即b=xlnx-x(1-x)2+x(1-x)=xlnx+x2-x3在x>0上有解
即求函数g(x)=xlnx+x2-x3的值域.
法一:b=x(lnx+x-x2)令h(x)=lnx+x-x2
由h′(x)=
1 |
x |
(2x+1)(1-x) |
x |
从而h(x)在(0,1)上为增函数;
当x>1时,h"(x)<0,从而h(x)在(1,+∞)上为减函数.
∴h(x)≤h(1)=0,而h(x)可以无穷小.∴b的取值范围为(-∞,0](15分)
法二:g"(x)=lnx+1+2x-3x2g″(x)=
1 |
x |
6x2-2x-1 |
当0<x<
1+
| ||
6 |
1+
| ||
6 |
当x>
1+
| ||
6 |
1+
| ||
6 |
又g"(1)=0,∴令g′(x0)=0,0<x0<
1+
| ||
6 |
所以g(x)在0<x<x0上递减;当x0<x<1时,g"(x)>0,
所以g(x)在x0<x<1上递增;当x>0时,g(x)<0,所以g(x)在x>1上递减;
又当x→+∞时,g(x)→-∞,g(x)=xlnx+x2-x3=x(lnx+x-x2)≤x(lnx+
1 |
4 |
当x→0时,lnx+
1 |
4 |
核心考点
试题【已知函数f(x)=ln(ax+1)+x3-x2-ax.(Ⅰ)若x=23为f(x)的极值点,求实数a的值;(Ⅱ)若y=f(x)在[1,+∞)上为增函数,求实数a的】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
b+2 |
x+1 |
(1)求证:函数f(x)具有性质P(b);
(2)求函数f(x)的单调区间.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=[f(x)-k]x在(-∞,+∞)上是单调减函数,那么:
①求k的取值范围;
②是否存在区间[m,n](m<n),使得f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn]?若存在,请求出区间[m,n];若不存在,请说明理由.
A.增函数 |
B.减函数 |
C.常数 |
D.既不是增函数也不是减函数 |
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