设函数f（x）=ax+xlnx，g（x）=x3-x2-3．（Ⅰ）讨论函数h(x)=f(x)x的单调性；（Ⅱ）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（ - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：天津模拟难度：来源：

设函数f（x）=

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（Ⅰ）讨论函数h(x)=

f(x)

的单调性；
（Ⅱ）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（Ⅲ）如果对任意的s，t∈[

，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

答案

（Ⅰ）h(x)=

+lnx，h′(x)=-

x2-2a

，…（1分）
①a≤0，h"（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增…（2分）
②a＞0，h′(x)≥0，x≥

，函数h（x）的单调递增区间为(

，+∞)，h′(x)≤0，0＜x≤

，函数h（x）的单调递减区间为(0，

)…（4分）
（Ⅱ）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，等价于：[g（x₁）-g（x₂）]_max≥M，…（5分）
考察g（x）=x³-x²-3，g′(x)=3x(x-

)，…（6分）

核心考点

试题【设函数f（x）=ax+xlnx，g（x）=x3-x2-3．（Ⅰ）讨论函数h(x)=f(x)x的单调性；（Ⅱ）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（】；主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

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(0，

)

(

，2)

g′（x）

g（x）

-3

递减

极（最）小值-

递增

已知函数f（x）=a（x-1）²+lnx+1．
（Ⅰ）当a=-

时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[2，4]上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在

x≥1

y-x≤0

所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=（ax²+bx+c）e^x且f（0）=1，f（1）=0．
（I）若f（x）在区间[0，1]上单调递减，求实数a的取值范围；
（II）当a=0时，是否存在实数m使不等式2f（x）+4xe^x≥mx+1≥-x²+4x+1对任意x∈R恒成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=lnx+ax²+bx（其中a，b）为常数且a≠0）在x=1处取得极值．
（I）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（II）若f（x）在（0，e]上的最大值为1，求a的值．

已知函数f(x)=alnx+

a+1

x2+1．
（Ⅰ）当a=-

时，求f（x）在区间[

，e]上的最值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

已知函数f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）
（1）当a=1时，求函数f（x）的最值；
（2）求函数f（x）的单调区间．