题目

题型：不详难度：来源：

若函数y=f（x）在x=x₀处取得极大值或极小值，则称x₀为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x³+ax²+bx的两个极值点．
（1）求a和b的值；
（2）设函数g（x）的导函数g"（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点．

答案

（1）由f（x）=x³+ax²+bx，得f"（x）=3x²+2ax+b．
∵1和-1是函数f（x）=x³+ax²+bx的两个极值点，
∴f"（1）=3+2a+b=0，f"（-1）=3-2a+b=0，解得a=0，b=-3．
（2）∵由（1）得，f（x）=x³-3x，
∴g"（x）=f（x）+2=x³-3x+2=（x-1）²（x+2），解得x₁=x₂=1，x₃=-2．
∵当x＜-2时，g"（x）＜0；当-2＜x＜1时，g"（x）＞0，
∴x=-2是g（x）的极值点．
∵当-2＜x＜1或x＞1时，g"（x）＞0，∴x=1不是g（x）的极值点．
∴g（x）的极值点是-2．