题目

题型：清城区二模难度：来源：

已知函数f（x）=

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x³-2ax²+3x（x∈R）．
（1）若a=1，点P为曲线y=f（x）上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；
（2）若函数y=f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a．

答案

（1）设切线的斜率为k，则k=f′（x）=2x²-4x+3=2（x-1）²+1，当x=1时，k_min=1．
把a=1代入到f（x）中得：f（x）=

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x³-2x²+3x，所以f（1）=

2

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-2+3=

5

3

，即切点坐标为（1，

5

3

）
∴所求切线的方程为y-

5

3

=x-1，即3x-3y+2=0．
（2）f′（x）=2x²-4ax+3，因为y=f（x）为单调递增函数，则对任意的x∈（0，+∞），恒有f′（x）＞0，
f′（x）=2x²-4ax+3＞0，
∴a＜

2x2+3

4x

=

x

2

+

3

4x

，而

x

2

+

3

4x

≥

6

2

，当且仅当x=

6

2

时，等号成立．
所以a＜

6

2

，则所求满足条件的最大整数a值为1．