题目

题型：不详难度：来源：

设函数f（x）=

a

3

x³+bx²+4cx+d的图象关于原点对称，f（x）的图象在点P（1，m）处的切线的斜率为-6，且当x=2时，f（x）有极值．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）求f （x）的单调区间；
（3）若x₁，x₂∈[-1，1]，求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤

44

3

．

答案

（1）f′（x）=ax²+2bx+4c由条件可得b=d=0，f"（1）=-6，f′（2）=0
∴a+4c=-6，4a+4c=0 解得 a=2，c=-2
故a=2，b=0，c=-2，d=0．′（4分）
（2）∵f（x）=

2

3

x³-8x，∴f"（x）=2x²-8=2（x+2）（x-2）
令f"（x）＞0得x＜-2或x＞2，令f′（x）＜0得-2＜x＜2．
∴f（x）的单调增区间为（和[2，+∞）；f（x）的单调减区间为[-2，2]．（8分）
（3）证明：由（2）知f（x）在[-1，1]上单调递减
∴当x∈[-1，1]时 f（1）≤f（x）≤f（-1）即-

22

3

≤f（x）≤

22

3

亦即|f（x）|≤

22

3

故当x₁，x₂∈[-1，1]时，|f（x₁）|≤

22

3

，|f（x₂）|≤

22

3

．
从而|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x₁）|+|f（x₂）|≤

22

3

+

22

3

=

44

3

即|f（x₁）-f（x₂）|≤

44

3

．…（5分）