题目

题型：不详难度：来源：

设函数f(x)=ln(x-1)+

2a

x

(a∈R)
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）如果当x＞1，且x≠2时，

ln(x-1)

x-2

＞

a

x

恒成立，则求实数a的取值范围．

答案

（1）由题意可知函数f（x）的定义域为（1，+∞），f′(x)=

1

x-1

-

2a

x2

=

x2-2ax+2a

x2(x-1)

，
设g（x）=x²-2ax+2a，△=4a²-8a=4a（a-2），
①当△≤0，即0≤a≤2，g（x）≥0，
∴f^′（x）≥0，f（x）在（1，+∞）上单调递增．
②当a＜0时，g（x）的对称轴为x=a，当x＞1时，由二次函数的单调性可知g（x）＞g（1）＞0，
∴f^′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增．
③当a＞2时，设x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程x²-2ax+2a=0的两个根，则x1=a-

a2-2a

＞1，x2=a+

a2-2a

，
当1＜x＜x₁或x＞x₂时，f^′（x）＞0，f（x）在（1，x₁），（x₂，+∞）上是增函数．
当x₁＜x＜x₂时，f^′（x）＜0，f（x）在（x₁，x₂）上是减函数．
综上可知：当a≤2时，f（x）在（1，+∞）上单调递增；
          当a＞2时，f（x）的单调增区间为（1，x₂），（x₂，+∞），单调递减区间为（x₁，x₂）．
（2）

ln(x-1)

x-2

＞

a

x

可化为

1

x-2

[ln(x-1)+

2a

x

-a]＞0，即

1

x-2

[f(x)-a]＞0，（*）
令h（x）=f（x）-a，由（1）知：
①当a≤2时，f（x）在（1，+∞）上是增函数，所以h（x）在（1，+∞）是增函数．
因为当1＜x＜2时，h（x）＜h（2）=0，∴（*）式成立；
当x＞2时，h（x）＞h（2）=0，∴（*）成立；
所以当a≤2时，（*）成立
②当a＞2时，因为f（x）在（x₁，2）上是减函数，所以h（x）在（x₁，2）上是减函数，所以当x₁＜x＜2时，h（x）＞h（2）=0，（*）不成立．
综上可知，a的取值范围为（-∞，2]．