题目

题型：济南三模难度：来源：

定义在R上的函数f（x）满足（x-1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x₁-1|＜|x₂-1|时，有（　　）

A．f（2-x1）≥f（2-x2）	B．f（2-x1）=f（2-x2）
C．f（2-x1）＜f（2-x2）	D．f（2-x1）≤f（2-x2）

答案

①若f（x）=c，则f"（x）=0，此时（x-1）f"（x）≤0和y=f（x+1）为偶函数都成立，
此时当|x₁-1|＜|x₂-1|时，恒有f（2-x₁）=f（2-x₂）．
②若f（x）不是常数，因为函数y=f（x+1）为偶函数，所以y=f（x+1）=f（-x+1），
即函数y=f（x）关于x=1对称，所以f（2-x₁）=f（x₁），f（2-x₂）=f（x₂）．
当x＞1时，f"（x）≤0，此时函数y=f（x）单调递减，当x＜1时，f"（x）≥0，此时函数y=f（x）单调递增．
若x₁≥1，x₂≥1，则由|x₁-1|＜|x₂-1|，得x₁-1＜x₂-1，即1≤x₁＜x₂，所以f（x₁）＞f（x₂）．
同理若x₁＜1，x₂＜1，由|x₁-1|＜|x₂-1|，得-（x₁-1）＜-（x₂-1），即x₂＜x₁＜1，所以f（x₁）＞f（x₂）．
若x₁，x₂中一个大于1，一个小于1，不妨设x₁＜1，x₂≥1，则-（x₁-1）＜x₂-1，
可得1＜2-x₁＜x₂，所以f（2-x₁）＞f（x₂），即f（x₁）＞f（x₂）．
综上有f（x₁）＞f（x₂），即f（2-x₁）＞f（2-x₂），
故选A．