题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=

1

3

ax3-

1

2

x2-2ax+b(a，b∈R)
（1）试求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在x=2处有极值，且f（x）图象与直线y=4x有三个公共点，求b的取值范围．

答案

（1）f"（x）=ax²-x-2a
当a=0时，f"（x）=-x＞0⇒x＜0
当a≠0时，△=1+8a²＞0，方程f"（x）=0有不相等的两根为x1，x2=

1± 1+8a2

2a

1°当a＞0时，f′(x)＞0⇒x＜

1- 1+8a2

2a

或x＞

1+ 1+8a2

2a

2°当a＜0时，f′(x)＞0⇒

1+ 1+8a2

2a

＜x＜

1- 1+8a2

2a

综上：当a=0时，f（x）在（-∞，0）上递增
当a＞0时，f（x）在(-∞，

1- 1+8a2

2a

)，(

1+ 1+8a2

2a

，+∞)上递增
当a＜0时，f（x）在(

1+ 1+8a2

2a

，

1- 1+8a2

2a

)上递增
（2）∵f（x）在x=2处有极值，∴f"（2）=0，∴a=1
令g(x)=f(x)-4x=

1

3

x3-

1

2

x2-6x+b
∴g"（x）=x²-x-6=0⇒x=-2或3g"（x）＞0⇒x＜-2或x＞3g"（x）＜0⇒-2＜x＜3
∴g（x）在x=-2处有极大值，在x=3处有极小值
要使f（x）图象与y=4x有三个公共点
则

g(-2)＞0 g(3)＜0

⇔-

22

3

＜b＜

27

2

，即b的取值范围为(-

22

3

，

27

2

)