题目

题型：西城区一模难度：来源：

设a∈R，函数f（x）=2x³-3（a+2）x²+12ax+4，
（1）若x=3是f（x）的一个极值点，求常数a的值；
（2）若f（x）在（-∞，1）上为增函数，求a的取值范围．

答案

（1）f′（x）=6x²-6（a+2）x+12a
∵x=3是f（x）的一个极值点
∴f′（3）=0，即54-18（a+2）+12a=0
解得a=3，经检验知，a=3时，x=3是f（x）的一个极值点
∴a=3．

（2）∵f（x）在（-∞，1）上为增函数
∴f′（x）=6x²-6（a+2）x+12a≥0恒成立，x∈（-∞，1）．
即x²+（2-x）a-2x≥0恒成立，
∵x∈（-∞，1）．
∴2-x＞0
∴a≥

2x-x2

2-x

恒成立．
令g（x）=

2x-x2

2-x

=x＜1
∴a≥1．