当前位置:高中试题 > 数学试题 > 函数的单调性与导数 > 设f(x)=ln(x+1),(x>-1)(1)讨论函数g(x)=af(x)-12x2(a≥0)的单调性.(2)求证:(1+11)(1+12)(1+13)…(1+...
题目
题型:不详难度:来源:
设f(x)=ln(x+1),(x>-1)
(1)讨论函数g(x)=af(x)-
1
2
x2
(a≥0)的单调性.
(2)求证:(1+
1
1
)(1+
1
2
)(1+
1
3
)…(1+
1
n
)<e
n+2
2
(n∈N*
答案
(1)g(x)=-
x2+x-a
x+1
,令x2+x-a=0,
∵△=1+4a>0,∴g′(x)=0有两根,设为x1与x2且x1<x2
x1=
-1-


1+4a
2
x2=
-1+


1+4a
2

当a≥0时x1≤-1,x2≥0,
∴当a≥0时g(x)在(-1,x2)上递增,在(x2,+∞)递减.
(2)原命题等价于证明ln(1+
1
1
)+ln(1+
1
2
)+ln(1+
1
3
)+…+ln(1+
1
n
)<
n+2
2

由(1)知2ln(1+x)-
1
2
x2≤2ln2-
1
2
,∴ln(x+1)≤
1
4
x2+(ln2-
1
4
)

x=
1
n
,得ln(1+
1
n
)≤
1
4
1
n2
+ln2-
1
4

所以ln(1+
1
1
)+ln(1+
1
2
)+ln(1+
1
3
)+…+ln(1+
1
n
)≤
1
4
(1+
1
22
+
1
32
+
1
42
+…+
1
n2
)+(ln2-
1
4
)n
1
4
(1+
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
(n-1)n
)+(ln2-
1
4
)n=
1
4
(2-
1
n
)+(ln2-
1
4
)n<
1
2
+(ln2-
1
4
)n,
只需证ln2-
1
4
1
2
即可,即ln2<
3
4

ln2=ln
424

=ln
416

3
4
=lne
3
4
=ln
4e3

=ln
42.73

=ln
419.68


ln2<
3
4
,∴
1
2
+(ln2-
1
4
)n<
n+1
2
n+2
2

∴ln(1+
1
1
)+ln(1+
1
2
)+ln(1+
1
3
)+…+ln(1+
1
n
)<
n+2
2

(1+
1
1
)(1+
1
2
)(1+
1
3
)…(1+
1
n
)<e
n+2
2
核心考点
试题【设f(x)=ln(x+1),(x>-1)(1)讨论函数g(x)=af(x)-12x2(a≥0)的单调性.(2)求证:(1+11)(1+12)(1+13)…(1+】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=x2+ax+blnx(x>0,实数a,b为常数).
(Ⅰ)若a=1,b=-1,求f(x)在x=1处的切线方程;
(Ⅱ)若a=-2-b,讨论函数f(x)的单调性.
题型:怀柔区一模难度:| 查看答案
设函数f(x)=
2
3
x3+
1
2
ax2+x
,a∈R.
(Ⅰ)当x=2时,f(x)取得极值,求a的值;
(Ⅱ)若f(x)在(0,+∞)内为增函数,求a的取值范围.
题型:朝阳区一模难度:| 查看答案
已知f(x)=x3+bx2+cx+2.
(I)若f(x)在x=1时,有极值-1,求b、c的值;
(II)当b为非零实数时,证明:f(x)的图象不存在与直线(b2-c)x+y+1=0平行的切线;
(III)记函数|f′(x)|(-1≤x≤1)的最大值为M,求证:M≥
3
2
题型:不详难度:| 查看答案
函数y=-
2
3
x3+(a+
1
a
)x2-2x+4
(其中a<-1)的单调递减区间为(  )
A.(-∞,
1
a
)
、(a,+∞)
B.(-∞,a)、(
1
a
,+∞)
C.(
1
a
,a)
D.(a,
1
a
)
题型:普宁市模拟难度:| 查看答案
若函数f(x)=
1
3
x3-
3
2
x2ax+4恰在[-1,4]上单调递减,则实数a的值为______.
题型:许昌二模难度:| 查看答案
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