题目
题型:不详难度:来源:
(I)若f(x)在x=1时,有极值-1,求b、c的值;
(II)当b为非零实数时,证明:f(x)的图象不存在与直线(b2-c)x+y+1=0平行的切线;
(III)记函数|f′(x)|(-1≤x≤1)的最大值为M,求证:M≥
3 |
2 |
答案
由f(x)在x=1时,有极值-1得
|
即
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|
当b=1,c=-5时,
f′(x)=3x2+2x-5=(3x+5)(x-1),
当x>1时,f′(x)>0,
当-
5 |
3 |
从而符合在x=1时,f(x)有极值,(4分)
(Ⅱ)假设f(x)图象在x=t处的切线与直线(b2-c)x+y+1=0平行,
∵f′(t)=3t2+2bt+c,
直线(b2-c)x+y+1=0的斜率为c-b2,
∴3t2+2bt+c=c-b2,(7分)
即3t2+2bt+b2=0.
∵△=4(b2-3b2)=-8b2,
又∵b≠0,∴△<0.
从而方程3t2+2bt+b2=0无解,
因此不存在t,使f′(t)=c-b2,
却f(x)的图象不存在与直线(b2-c)x+y+1=0平行的切线.(8分)
(Ⅲ)∵|f′(x)|=|3(x+
b |
3 |
①若|-
b |
3 |
∴2M≥|f′(-1)|+|f′(1)|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥|4b|>12,
∴M>6,从而M≥
3 |
2 |
②当-3≤b≤0时,2M≥|f′(-1)|+|f′(-
b |
3a |
3c-b2 |
3 |
=|3-2b+c|+|c-
b2 |
3 |
3 |
2 |
③当0<b≤3时,2M≥|f′(1)|+|f′(-
b |
3 |
b2 |
3 |
b2 |
3 |
=|
1 |
3 |
3 |
2 |
综上所述,M≥
3 |
2 |
核心考点
试题【已知f(x)=x3+bx2+cx+2.(I)若f(x)在x=1时,有极值-1,求b、c的值;(II)当b为非零实数时,证明:f(x)的图象不存在与直线(b2-c】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
2 |
3 |
1 |
a |
A.(-∞,
| B.(-∞,a)、(
| C.(
| D.(a,
|
1 |
3 |
3 |
2 |
(I)求f(x)的单调区间;
(II)设点P(x0,f(x0))在曲线y=f(x)上,曲线在点P处的切线为l.若x0∈[-1,2],求l在y轴上的截距的取值范围.
(Ⅰ)设F(x)=ax2+f"(x)(a∈R),讨论函数F(x)的单调性;
(Ⅱ)若斜率为k的直线与曲线y=f"(x)交于A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1<x2)两点,求证:x1<
1 |
k |
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