题目

题型：不详难度：来源：

已知函数y=f（x）的定义域为R，其导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1，常数α为方程f（x）=x的实数根．
（1）求证：当x＞α时，总有x＞f（x）成立；
（2）对任意x₁、x₂若满足|x₁-α|＜1，|x₂-α|＜1，求证：|f（x₁）-f（x₂）|＜2．

答案

（1）证明：令g（x）=x-f（x），则g′（x）=1-f′（x），
∵0＜f′（x）＜1，∴g′（x）=1-f′（x）＞0，
∴函数g（x）=x-f（x）为R上的增函数，
∴当x＞α时g（x）=x-f（x）＞g（α）=α-f（α）=0，
∴当x＞α时，总有x＞f（x）成立；
（2）证明：∵|x₁-α|＜1，|x₂-α|＜1，
∴α-1＜x₁＜α+1，α-1＜x₂＜α+1，
又0＜f′（x）＜1，
∴f（x）在R上是增函数，
∴f（α-1）＜f（x₁）＜f（α+1），f（α-1）＜f（x₂）＜f（α+1），
∴f（α-1）-f（α+1）＜f（x₁）-f（x₂）＜f（α+1）-f（α-1），
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜f（α+1）-f（α-1），
由（1）知：f（α+1）＜α+1；-f（α-1）＜-（α-1），
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜f（α+1）-f（α-1）＜2，
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜2．