题目

题型：不详难度：来源：

（本小题共12分）已知定义在R上的函数f(x)=（a，b，c，d∈R）的图像关于原点对称，且x=1时，f(x)取得极小值
（1）求f(x)的解析式；
（2）当x∈[－1，1]时，函数图像上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？证明你的结论；
（3）设时，求证：|．

答案

解：（1）∵函数f(x)的图像关于原点对对称∴f(0)=0得d=0，又f(1)=f(1)，得f（x）=，，由f（1）=及得3a+c=0且a+c=解得a=，  c=  ∴f（x）=x……4分
（2）当x∈[-1,1]时，函数图像上不存这样的两点使得结论成立。
假设图象上存在两点A，B使得过此两点的切线互相垂直，则由，
知斜率，且，
即
∵x∈[-1,1],∴,∴因此上式矛盾！故假设不成立。      8分
（3）证明：，令得x=±1  ∴x∈（-∞，-1）或
x∈（1，+∞）时，，x∈[-1,1]时，∴f(x)在[-1,1]上是减函数，
；，
|                  12分

解析

略