题目
题型:不详难度:来源:
(理)(1)证明不等式:
(2)已知函数在上单调递增,求实数的取值范围.
(3)若关于x的不等式在上恒成立,求实数的最大值.
(文)已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)若在处取得极小值,记此极小值为,求的定义域和值域.
答案
文:(1)(2)定义域为,值域为
解析
(2)本小题解决的思路是在上单调递增转化为
在上恒成立问题解决.
(3)本小题可先把参数与变量分离,基本思路是由已知在上恒成立,∵,
当x>0时,易得恒成立.
然后再研究的最小值即可.
文:(1)由于f(x)的导函数是二次函数,所以x=2就是其导函数的对称轴,据此可求出b值.
(II)由(Ⅰ)知,,
.
然后再分别讨论当c 12和c<12的极值情况,从而确定其极小值,由于极小值g(t)是关于t的函数,然后再利用函数求定义域和值域的方法求解即可
解:(理)(1)令,
则
∴g(x)在上单调递减,即g(x)<g(0),从而成立
……………4分
(2)由,当x=0或时,,由已知得在上恒成立,∴,又f(x)在有意义,∴a≥0,综上:;
………………8分
(3)由已知在上恒成立,∵,
当x>0时,易得恒成立,……10分
令得恒成立,由(2)知:令a=2得:(1+x)>,∴; …………12分
由(1)得:当时,;∴当时,不大于;∴;
当x=0时,b∈R,综上: ………14分
解:(文)(Ⅰ).因为函数的图象关于直线x=2对称,所以,于是 ………………2分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
. ………4分
(ⅰ)当c 12时,,此时无极值. ………6分
(ii)当c<12时,有两个互异实根,.不妨设<,则<2<.
当x<时,,在区间内为增函数;
当<x<时,,在区间内为减函数;
当时,,在区间内为增函数.
所以在处取极大值,在处取极小值. ………10分
因此,当且仅当时,函数在处存在唯一极小值,所以.
于是的定义域为.由得.
于是 . ………12分
当时,所以函数在区间内是减函数,故的值域为 ………14分
核心考点
试题【(本题满分14分)(理)(1)证明不等式:(2)已知函数在上单调递增,求实数的取值范围.(3)若关于x的不等式在上恒成立,求实数的最大值.(文)已知函数的导函数】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
A. | B. | C. | D. |
(1)求实数的值;
(2)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围.
(1)求函数的单调区间;
(2)若恒成立,试确定实数k的取值范围;
(3)证明:
①上恒成立
②
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