题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分15分）已知函数（）
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，设，若存在,，使，
求实数的取值范围。为自然对数的底数，

答案

（Ⅰ）当时，的减区间为，增区间为（。
当时，的减区间为。
当时，的减区间为，
增区间为。
（Ⅱ）。

解析

本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力．
（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的关系对k的大小进行分类讨论，进而确定函数的单调性．
（Ⅱ）根据函数的增减区间确定函数的最大值，从而解出a取值范围．
解：（Ⅰ），。 ………………1分
令
当时，,的减区间为，增区间为（。……2分
‚当时，
所以当时，在区间上单调递减。………………4分
当时，，
，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，单调递减，                ……………………7分
所以当时，的减区间为，增区间为（。
当时，的减区间为。
当时，的减区间为，
增区间为。       ……………………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在上的最大值为， ………10分
令，得
时，，单调递减，
时，，单调递增，                ……………………12分
所以在上的最小值为，      ……………………13分
由题意可知，解得            ………………14分
所以                 ……………15分