题目
题型:不详难度:来源:
已知a∈R,函数f(x)=4x3-2ax+a.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+|2-a|>0.
答案
单调递减区间为.(2)见解析。
解析
试题分析:(1)根据函数的导数符号与函数单调性的关系来判定求解其单调区间。
(2)要证明不等式恒成立问题,那么要转化为函数的最值问题来处理即可或者构造函数求解函数的 最小值大于零得到。
解:
(1)由题意得f′(x)=12x2-2a.
当a≤0时,f′(x)≥0恒成立,此时f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).
当a>0 时,f′(x)=12,此时
函数f(x)的单调递增区间为和,
单调递减区间为.
(2)由于0≤x≤1,故
当a≤2时,f(x)+|a-2|=4x3-2ax+2≥4x3-4x+2.
当a>2时,f(x)+|a-2|=4x3+2a(1-x)-2≥4x3+4(1-x)-2=4x3-4x+2.
设g(x)=2x3-2x+1,0≤x≤1,则g′(x)=6x2-2=6,于是
x | 0 | | |||
| - | 0 | + | | |
1 | 减函数 | 极小值 | 增函数 | 1 |
所以当0≤x≤1时,2x3-2x+1>0.
故f(x)+|a-2|≥4x3-4x+2>0.
点评:对于含有参数的二次不等式问题的求解是解决导数中常见的非常重要的,注意对于开口和判别式的情况进行分类讨论得到结论。
核心考点
试题【(本题满分12分) 已知a∈R,函数f(x)=4x3-2ax+a.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+|2-a|>0.】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数在上是增函数,在上是减函数.
(1)求函数的解析式;
(2)若时,恒成立,求实数的取值范围;
(3)是否存在实数,使得方程在区间上恰有两个相异实数根,若存在,求出的范围,若不存在说明理由.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)已知,若函数的图象总在直线的下方,求的取值范围;
(Ⅲ)记为函数的导函数.若,试问:在区间上是否存在()个正数…,使得成立?请证明你的结论.
设函数.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根,求实数的取值范围.
(2)若当x∈[-2,2]时,不等式f(x)>m恒成立,求实数m的取值范围.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)若直线与函数的图象有3个交点,求的取值范围。
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