题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)已知,若函数的图象总在直线的下方,求的取值范围;
(Ⅲ)记为函数的导函数.若,试问:在区间上是否存在()个正数…,使得成立?请证明你的结论.
答案
(2)(3)存在,证明见解析
解析
试题分析:
(Ⅰ), ……2分
①当时,恒成立,故的递增区间是; ……3分
②当时,令,则.
当时,;当时,.
故在上单调递增;在上单调递减; ……6分
(Ⅱ)由上述讨论,当时,为函数的唯一极大值点,
所以的最大值为=. ……8分
由题意有,解得.
所以的取值范围为. ……10分
(Ⅲ)当时,. 记,其中.
∵当时,,∴在上为增函数,
即在上为增函数. ……12分
又,所以,对任意的,总有.
所以,
又因为,所以.
故在区间上不存在使得成立的()个正数…. ……14分
点评:对于题目条件较复杂,设问较多的题目审题时,应该细致严谨,将题目条件条目化,一一分析,细心推敲.对于设问较多的题目,一般前面的问题较简单,问题难度阶梯式上升,先由条件将前面的问题正确解答,然后将前面问题的结论作为后面问题解答的条件,注意问题之间的相互联系,使问题化难为易,层层解决.
核心考点
试题【(本小题14分)设函数.(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)已知,若函数的图象总在直线的下方,求的取值范围;(Ⅲ)记为函数的导函数.若,试问:在区间上是否存在()个正数…】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
设函数.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根,求实数的取值范围.
(2)若当x∈[-2,2]时,不等式f(x)>m恒成立,求实数m的取值范围.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)若直线与函数的图象有3个交点,求的取值范围。
(1)求的极值;
(2)若在上为单调递增函数,求的取值范围;
(3)设,若在(是自然对数的底数)上至少存在一个,使得成立,求的取值范围。
(1)当时,求的极值;
(2)当时,求的单调区间;
(3)若对任意及,恒有成立,求的取值范围
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