题目
题型:不详难度:来源:
已知函數f(x)=ln+mx2(m∈R)
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)若m=0,A(a,f(a))、B(b,f(b))是函数f(x)图象上不同的两点,且a>b>0, 为f(x)的导函数,求证:
(III)求证
答案
在上单调递增,在上单调递减.
(2)构造函数利用单调性来证明不等式成立。
(3)在第二问的基础上,进行适当的放缩得到证明。
解析
试题分析:解:(Ⅰ)f(x)的定义域为,
时,>0, 在上单调递增;
时,<0, 在上单调递减.
综上所述:
在上单调递增,在上单调递减.…………3分
(Ⅱ)要证,只需证,令即证,
令,
因此得证.…………………6分
要证,只要证,
令,只要证,
令,
因此,
所以得证.………………9分
另一种的解法:
令=,,
则 ,
所以在单调递增,
即得证.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,(),则
所以.………………12分
点评:解决该试题的关键是利用导数的正负来求解函数的单调区间,进而确定出最值,同时利用构造函数的思想,分离参数来求解函数的最值,解决不等式的恒成立问题,同时要对于不等式的证明,要采用适当的放缩来完成,属于难度试题。
核心考点
试题【.(本小题满分12分)已知函數f(x)=ln+mx2(m∈R)(I)求函数f(x)的单调区间;(II)若m=0,A(a,f(a))、B(b,f(b))是函数f(】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数,是的导函数(为自然对数的底数)
(Ⅰ)解关于的不等式:;
(Ⅱ)若有两个极值点,求实数的取值范围.
设,点P(,0)是函数的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.
(1)用表示a,b,c;
(2)若函数在(-1,3)上单调递减,求的取值范围.
(1)若函数有三个零点,且,,求函数 的单调区间;
(2)若,,试问:导函数在区间(0,2)内是否有零点,并说明理由.
(3)在(Ⅱ)的条件下,若导函数的两个零点之间的距离不小于,求的取值范围.
(1)求的单调区间.
(2)设,,求函数在上的最大值;
设函数
(Ⅰ)若,求的单调区间;
(Ⅱ)若当≥0时≥0,求的取值范围.
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