题目

题型：不详难度：来源：

设函数f(x)＝a²ln x－x²＋ax，a>0.
①求f(x)的单调区间；②求所有实数a，使e－1≤f(x)≤e²对x∈[1，e]恒成立．

答案

①f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．②a＝e

解析

①f(x)＝a²ln x－x²＋ax，其中x>0，
所以f′(x)＝－2x＋a＝.
由于a>0，∴由f′(x)>0知0<x<a，
由f′(x)<0知x>a.
所以，f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．
②由题意知f(1)＝a－1≥e－1，
即a≥e.
由①知f(x)在[1，e]内递增，
要使e－1≤f(x)≤e²对x∈[1，e]恒成立．
只要 ∴a＝e.