题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)证明:f(x)的导数f"(x)≥2;
(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.
答案
由于ex+e-x≥2
ex•e-x |
(当且仅当x=0时,等号成立).
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-ax,则g"(x)=f"(x)-a=ex+e-x-a,
(ⅰ)若a≤2,当x>0时,g"(x)=ex+e-x-a>2-a≥0,
故g(x)在(0,+∞)上为增函数,
所以,x≥0时,g(x)≥g(0),即f(x)≥ax.
(ⅱ)若a>2,方程g"(x)=0的正根为x1=ln
a+
| ||
2 |
此时,若x∈(0,x1),则g"(x)<0,故g(x)在该区间为减函数.
所以,x∈(0,x1)时,g(x)<g(0)=0,即f(x)<ax,与题设f(x)≥ax相矛盾.
综上,满足条件的a的取值范围是(-∞,2].
核心考点
举一反三
lim |
x→0 |
f(1-x)-f(1+x) |
3x |
A.3 | B.-
| C.
| D.-
|
(1)求函数y=
x |
x |
2 |
x |
2 |
(2)
∫ | 20 |
π |
3 |
π |
12 |
π |
3 |
A.f(
| B.f(
| C.f(
| D.不能确定 |
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