题目

题型：不详难度：来源：

已知f₁（x）=sinx+cosx，且f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…，f_n（x）=f_n-1′（x），…（n∈N^*，n≥2），则f1(

π

4

)+f2(

π

4

)+…+f2011(

π

4

)=______．

答案

f₂（x）=f₁′（x）=cosx-sinx，
f₃（x）=（cosx-sinx）′=-sinx-cosx，
f₄（x）=-cosx+sinx，f₅（x）=sinx+cosx，
以此类推，可得出f_n（x）=f_n+4（x）
又∵f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0，
∴f₁（

π

4

）+f₂（

π

4

）+…+f₂₀₁₁（

π

4

）=-f₂₀₁₂（

π

4

）=-f₄（

π

4

）=cos

π

4

-sin

π

4

=0．
故答案为：0