已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）=ax，且f′（x）g（x）+f（x）•g′（x）＜0，f（1）g（1）+f（-1）g（-1）=103 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）=a^x，且f′（x）g（x）+f（x）•g′（x）＜0，f（1）g（1）+f（-1）g（-1）=

，若有穷数列{f（n）g（n）}（n∈N^*）的前n项和等于

，则n等于______．

答案

由（f（x）g（x））′=f′（x）g（x）+f（x）•g′（x）＜0，
即a^xlna＜0，故0＜a＜1．
由f（1）g（1）+f（-1）g（-1）=

，
得a+

，解得a=

，
∴有穷数列{f（n）g（n）}（n∈N^*）是等比数列，其前n项和S_n=

(1-(

)n)

，
得n=4．
故答案为：4．

核心考点

试题【已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）=ax，且f′（x）g（x）+f（x）•g′（x）＜0，f（1）g（1）+f（-1）g（-1）=103】；主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数f（x）=lnx+tanα（α∈（0，

））的导函数为f′（x），若使得f′（x₀）=f（x₀）立的x₀＜1，则实数α的取值范围为（　　）

A．（

，

）

B．（0，

）

C．（

，

）

D．（0，

）

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设函数f（x）=

（sinx-cosx）的导函数为f′（x），则下列结论正确的是（　　）

A．f′（x）+f（x）=-sinx	B．f′（x）+f（x）=-cosx
C．f′（x）-f（x）=sinx	D．f′（x）-f（x）=cosx

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若f′（x）=2e^x+xe^x（其中e为自然对数的底数），则f（x）可以是（　　）

A．xe^x+x

B．（x+1）e^x+1

C．xe^x

D．（x+1）e^x+x

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已知函数f（x）=

(x+1)2+sinx

x2+1

，其导函数记为f′（x），则f（2012）+f′（2012）+f（-2012）-f′（-2012）=______．

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已知函数f（x）=sinx-cosx且f′（x）是f（x）的导函数，若f′（α）=2f（α），则tan2α=______．

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