题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求的单调区间、最大值;
(Ⅱ)讨论关于的方程根的个数。
答案
(Ⅱ)当即时,函数的图象有两个交点,即方程有两个根.
当即时,函数的图象有一个交点,即方程有一个根.
显然当时,方程没有根.
解析
当时,;当时
所以的单调递增区间为,单调递减区间为,
(Ⅱ)
通过图象可对进行讨论:
当即时,函数的图象有两个交点,即方程有两个根.
当即时,函数的图象有一个交点,即方程有一个根.
显然当时,方程没有根.
解法二 (Ⅰ),
由,解得,
当时,,单调递减
所以,函数的单调递增区间是,单调递减区间是,
最大值为
(Ⅱ)令
(1)当时,,则,
所以,
因为, 所以
因此在上单调递增.
(2)当时,当时,,则,
所以,
因为,,又
所以 所以
因此在上单调递减.
综合(1)(2)可知 当时,,
当,即时,没有零点,
故关于的方程根的个数为0;
当,即时,只有一个零点,
故关于的方程根的个数为1;
当,即时,
①当时,由(Ⅰ)知
要使,只需使,即;
②当时,由(Ⅰ)知
;
要使,只需使,即;
所以当时,有两个零点,故关于的方程根的个数为2;
综上所述:
当时,关于的方程根的个数为0;
当时,关于的方程根的个数为1;
当时,关于的方程根的个数为2.
【考点定位】本题考查了函数的单调性、函数的最值等主干知识,考查了数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想的综合应用.第一问的研究为第二问进行数形结合铺平了“道路”,使的相对位置关系更明晰.
核心考点
举一反三
(Ⅰ)设,求的单调区间;
(Ⅱ) 设,且对于任意,.试比较与的大小.
(Ⅰ) 证明在区间(-1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;
(Ⅱ) 设曲线在点处的切线相互平行, 且 证明.
(1)若,,求函数的解析式;
(2)若,求实数的最大值;
(3)设函数,若,且,求函数在内的最小值.(用表示)
A. | B. | C. | D. |
(Ⅰ)当时,判断函数是否有极值;
(Ⅱ)若时,总是区间上的增函数,求实数的取值范围.
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