题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)设,求的单调区间;
(Ⅱ) 设,且对于任意,.试比较与的大小.
答案
(Ⅱ)
解析
(1)当时,
(i)若,当时,恒成立,
所以函数的单调递减区间是.
(ii)若,当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增.
所以的单调递减区间是,单调递增区间是
(2)当时,令得,
由得
显然
当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增.
所以函数的单调递减区间是,
单调递增区间是.
(Ⅱ)由题意知函数在处取得最小值,
由(I)知是的唯一极小值点,
故,整理得,
令则
由得
当时,,单调递增;
当时,,单调递减.
因此
故,即
即
【考点定位】本题考查导数法研究函数的单调性和相关函数值的大小比较,考查分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力.函数的单调区间判断必然通过导数方法来解决,伴随而来的是关于的分类讨论.比较与的大小时要根据已知条件和第一问的知识储备,构造新的函数利用单调性直接运算函数值得到结论.本题具备导数研究函数单调性的特征,必然按照程序化运行,即求导、关于参数分类讨论、确定单调区间等步骤进行.而第二问则是在第一问的基础上进一步挖掘解题素材,如隐含条件的发现、新函数的构造等,都为解决问题提供了有力支持.
核心考点
举一反三
(Ⅰ) 证明在区间(-1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;
(Ⅱ) 设曲线在点处的切线相互平行, 且 证明.
(1)若,,求函数的解析式;
(2)若,求实数的最大值;
(3)设函数,若,且,求函数在内的最小值.(用表示)
A. | B. | C. | D. |
(Ⅰ)当时,判断函数是否有极值;
(Ⅱ)若时,总是区间上的增函数,求实数的取值范围.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ)排列数的两个性质:①,②(其中m,n是正整数).是否都能推广到(,是正整数)的情形?若能推广,写出推广的形式并给予证明;若不能,则说明理由;
(Ⅲ)已知函数,试讨论函数的零点个数.
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