题目
题型:不详难度:来源:
(1)当时,求函数在上的最大值及相应的值;
(2)当时,讨论方程根的个数.
(3)若,且对任意的,都有,求实数a的取值范围.
答案
解析
试题分析:(1)通过求导数可得函数的单调性,在对比区间的两端点的函数值即可求得函数的最大值.(2)由于参数的变化.可以采取分离变量的方法,转化为两个函数的交点个数问题.其中一个是垂直于y轴的直线,另一个是通过求出函数的走向.根据图像即可得到结论.(3)将要说明的结论通过变形得到一个等价问题从而证明新的函数的单调性,使得问题巧妙地转化.本题只是容量大.通过研究函数的单调性,含参函数的讨论.与不等式的相结合转化为函数的单调性的证明.
试题解析:(1),当时,.当时,,又,
故,当时,取等号 4分
(2)易知,故,方程根的个数等价于时,方程根的个数. 设=,
当时,,函数递减,当时,,函数递增.又,,作出与直线的图像,由图像知:
当时,即时,方程有2个相异的根;
当 或时,方程有1个根;
当时,方程有0个根; 10分
(3)当时,在时是增函数,又函数是减函数,不妨设,则等价于
即,故原题等价于函数在时是减函数,
恒成立,即在时恒成立.
在时是减函数 16分
(其他解法酌情给分)
核心考点
试题【已知函数 (为实常数) .(1)当时,求函数在上的最大值及相应的值;(2)当时,讨论方程根的个数.(3)若,且对任意的,都有,求实数a的取值范围.】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)设函数,求函数的单调区间;
(Ⅲ)若在上存在一点,使得<成立,求的取值范围.
(Ⅰ)当时,求函数的极大值和极小值;
(Ⅱ)当时,恒成立,求的取值范围.
(I)当时,求的单调区间
(Ⅱ)若不等式有解,求实数m的取值菹围;
(Ⅲ)定义:对于函数和在其公共定义域内的任意实数,称的值为两函数在处的差值。证明:当时,函数和在其公共定义域内的所有差值都大干2。
(I)若,求函数的单调区间;
(Ⅱ)求证:
(Ⅲ)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为,对于任意的,函数是的导函数)在区间上总不是单调函数,求的取值范围。
(1)若,求证:当时,;
(2)若在区间上单调递增,试求的取值范围;
(3)求证:.
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