题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)设函数,求函数的单调区间;
(Ⅲ)若在上存在一点,使得<成立,求的取值范围.
答案
所以在上单调递减,在上单调递增;②当时,函数在上单调递增.(Ⅲ)所求的范围是:或.
解析
试题分析:(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程,由导数的几何意义可得,对函数求导得,令,求出,得切线斜率,由点斜式可写出曲线在处的切线方程;(Ⅱ)设函数,求函数的单调区间,求函数的单调区间,首先确定定义域,可通过单调性的定义,或求导确定单调区间,由于,含有对数函数,可通过求导来确定单调区间,对函数求导得,由此需对参数讨论,有范围判断导数的符号,从而得单调性;(Ⅲ)若在上存在一点,使得<成立,既不等式<有解,即在上存在一点,使得,即函数在上的最小值小于零,结合(Ⅱ),分别讨论它的最小值情况,从而可求出的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)的定义域为,
当时,,,
,,切点,斜率
∴曲线在点处的切线方程为
(Ⅱ),
①当时,即时,在上,在上,
所以在上单调递减,在上单调递增;
②当,即时,在上,所以,函数在上单调递增.
(Ⅲ)在上存在一点,使得成立,即在上存在一点,使得,即函数在上的最小值小于零.
由(Ⅱ)可知:①当,即时, 在上单调递减,
所以的最小值为,由可得,
因为,所以;
②当,即时, 在上单调递增,
所以最小值为,由可得;
③当,即时,可得最小值为,
因为,所以,
故此时不存在使成立.
综上可得所求的范围是:或.
核心考点
举一反三
(Ⅰ)当时,求函数的极大值和极小值;
(Ⅱ)当时,恒成立,求的取值范围.
(I)当时,求的单调区间
(Ⅱ)若不等式有解,求实数m的取值菹围;
(Ⅲ)定义:对于函数和在其公共定义域内的任意实数,称的值为两函数在处的差值。证明:当时,函数和在其公共定义域内的所有差值都大干2。
(I)若,求函数的单调区间;
(Ⅱ)求证:
(Ⅲ)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为,对于任意的,函数是的导函数)在区间上总不是单调函数,求的取值范围。
(1)若,求证:当时,;
(2)若在区间上单调递增,试求的取值范围;
(3)求证:.
(1)若曲线在和处的切线相互平行,求的值;
(2)试讨论的单调性;
(3)设,对任意的,均存在,使得.试求实数的取值范围.
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