题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)证明:当时,对于任意不相等的两个正实数、,均有成立;
(Ⅱ)记,
(ⅰ)若在上单调递增,求实数的取值范围;
(ⅱ)证明:.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)当时,对于任意不相等的两个正实数、,均有成立,只需求出与的解析式,两式作差得,判断符号即可证明;(Ⅱ)记,若在上单调递增,求实数的取值范围,首先求出的解析式,从而得,若它在上单调递增,即它的导函数在上恒大于零,得恒成立,这是恒成立问题,只需把含有的放到不等式的一侧,不含的放到不等式的另一侧,即,转化为求的最大值问题,可利用导数求出最大值,从而可得实数的取值范围. 证明:,因为,只需证它的最小值为,可利用导数证明它的最小值为即可.
试题解析:(Ⅰ)证明: ,
,
,则 ①
,则,②
由①②知.
(Ⅱ)(ⅰ),,
令,则在上单调递增.
,则当时,恒成立,
即当时,恒成立.
令,则当时,,
故在上单调递减,从而,
故.(14分)
(ⅱ)法一:,令,
则表示上一点与直线上一点距离的平方.
令,则,
可得在上单调递减,在上单调递增,
故,则,
直线与的图象相切与点,点到直线的距离为,
则,故.
法二:,
令,则.
令,则,显然在上单调递减,在上单调递增,
则,则,故.
核心考点
试题【已知函数(,),.(Ⅰ)证明:当时,对于任意不相等的两个正实数、,均有成立;(Ⅱ)记,(ⅰ)若在上单调递增,求实数的取值范围;(ⅱ)证明:.】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)若f(x)在(0,3)上无极值点,求m的值;
(Ⅱ)若存在x0∈(0,3),使得f(x0)是f(x)在[0,3]上的最值,求m的取值范围.
①对于任意的正数,存在正数,使得对于任意的,都有.
②当时,函数存在最小值;
③若时,则一定存在极值点;
④若时,方程在区间(1,2)内有唯一解.
其中正确命题的序号是 .
(1)当时恒成立,求实数的取值范围;
(2)若函数有对称中心为A(1,0),求证:函数的切线在切点处穿过图象的充要条件是恰为函数在点A处的切线.(直线穿过曲线是指:直线与曲线有交点,且在交点左右附近曲线在直线异侧)
(I)求实数,的值;
(Ⅱ)当时,恒成立,求实数的取值范围.
(Ⅰ)若,求函数的极值,并指出是极大值还是极小值;
(Ⅱ)若,求证:在区间上,函数的图像在函数的图像的下方.
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