题目
题型:不详难度:来源:
(1)当时恒成立,求实数的取值范围;
(2)若函数有对称中心为A(1,0),求证:函数的切线在切点处穿过图象的充要条件是恰为函数在点A处的切线.(直线穿过曲线是指:直线与曲线有交点,且在交点左右附近曲线在直线异侧)
答案
解析
试题分析:(1)由已知条件,构造函数,当时恒成立恒成立.利用导数讨论函数的单调性及最值,即可求得实数的取值范围;(2)由已知,函数关于A(1,0)对称,则是奇函数,由此可求出的值,进而得的解析式,利用导数的几何意义,求出函数在点A处的切线,构造函数,,利用导数分别研究函数,的单调性,结合直线穿过曲线定义,证明充分性和必要性.
试题解析:(1)设,.令:,得或.
所以:当,即时,在是增函数,最小值为,满足;当,即时,在区间为减函数,在区间为增函数.所以最小值,故不合题意.所以实数的取值范围是: 6分
(2)因为关于A(1,0)对称,则是奇函数,所以,所以 ,则.若为A点处的切线则其方程为:,令,,所以为增函数,而所以直线穿过函数的图象. 9分
若是函数图象在的切线,则方程:,设,则
,令得:,当时:,,从而处取得极大值,而,则当时,所以图象在直线的同侧,所在不能在穿过函数图象,所以不合题意,同理可证也不合题意.所以(前面已证)所以即为点.所以原命题成立. 14分
核心考点
试题【已知函数,(为常数)(1)当时恒成立,求实数的取值范围;(2)若函数有对称中心为A(1,0),求证:函数的切线在切点处穿过图象的充要条件是恰为函数在点A处的切线】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(I)求实数,的值;
(Ⅱ)当时,恒成立,求实数的取值范围.
(Ⅰ)若,求函数的极值,并指出是极大值还是极小值;
(Ⅱ)若,求证:在区间上,函数的图像在函数的图像的下方.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求证:当x>0时,
(Ⅲ)令,数列的前项和为.利用(2)的结论证明:当n∈N*且n≥2时,.
(1)当时,求的极值;(2)当时,讨论的单调性;
(3)若对任意的恒有成立,求实数的取值范围.
A. | B. | C. | D. |
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