题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)若f(x)在(0,3)上无极值点,求m的值;
(Ⅱ)若存在x0∈(0,3),使得f(x0)是f(x)在[0,3]上的最值,求m的取值范围.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ) 求原函数的导函数,则导函数恒大于等于0,即可得所求;(Ⅱ)由(Ⅰ)知导函数时等于0,则为函数的极值,要使有最值,再看导函数为0时的另外一个根的范围,然后分情况讨论:①时,显然为最值;②时,先求(0,3)上的极值,然后再与端点函数值比较满足题意求m;③时,先求(0,3)上的极值,然后再与端点函数值比较满足题意求m,综合①②③可得m的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)由题意得f′(x)=3ax2-6(m+a)x+12m=3(x-2)(ax-2m),
由于f(x)在(0,3)上无极值点,故=2,所以m=a. 5分
(Ⅱ)由于f′(x)=3(x-2)(ax-2m),故
(i)当≤0或≥3,即m≤0或m≥a时,
取x0=2即满足题意.此时m≤0或m≥a.
(ii)当0<<2,即0<m<a时,列表如下:
x | 0 | (0,) | (,2) | 2 | (2,3) | 3 | |
f′(x) | | + | 0 | - | 0 | + | |
f(x) | 1 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 9m+1 |
即-4a+12m+1≤1或+1≥9m+1,
即3m≤a或≥0,
即m≤或m≤0或m=.此时0<m≤.
(iii)当2<<3,即a<m<时,列表如下:
x | 0 | (0,2) | 2 | (2,) | (,3) | 3 | |
f′(x) | | + | 0 | - | 0 | + | |
f(x) | 1 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 9m+1 |
即+1≤1或-4a+12m+1≥9m+1,
即≤0或3m≥4a,
即m=0或m≥3a或m≥.
此时≤m<.
综上所述,实数m的取值范围是m≤或m≥. 14分
核心考点
试题【已知a为给定的正实数,m为实数,函数f(x)=ax3-3(m+a)x2+12mx+1.(Ⅰ)若f(x)在(0,3)上无极值点,求m的值;(Ⅱ)若存在x0∈(0,】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
①对于任意的正数,存在正数,使得对于任意的,都有.
②当时,函数存在最小值;
③若时,则一定存在极值点;
④若时,方程在区间(1,2)内有唯一解.
其中正确命题的序号是 .
(1)当时恒成立,求实数的取值范围;
(2)若函数有对称中心为A(1,0),求证:函数的切线在切点处穿过图象的充要条件是恰为函数在点A处的切线.(直线穿过曲线是指:直线与曲线有交点,且在交点左右附近曲线在直线异侧)
(I)求实数,的值;
(Ⅱ)当时,恒成立,求实数的取值范围.
(Ⅰ)若,求函数的极值,并指出是极大值还是极小值;
(Ⅱ)若,求证:在区间上,函数的图像在函数的图像的下方.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求证:当x>0时,
(Ⅲ)令,数列的前项和为.利用(2)的结论证明:当n∈N*且n≥2时,.
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