题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)若在x=处的切线与直线4x+y=0平行,求a的值;
(Ⅱ)讨论函数的单调区间;
(Ⅲ)若函数的图象与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为,证明.
答案
解析
试题分析:(I)f(x)的图象在x=处的切线与直线4x+y=0平行,则,求导、代入此式即可得a的值;(Ⅱ)求导得,由x>0,知>0,故只需考虑的符号.当a≥0时,对任意x>0,>0恒成立,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).当a<0时,令=0,解得,由此可得函数f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞);(Ⅲ)因为函数的图象与x轴交于A、B两点,由(Ⅱ)知必有 .不妨设A(,0),B(,0),且,
因为函数f(x)在(,+∞)上单调递减,于是要证<0成立,只需证:即.这个不等式怎么证?这是一个很常见的问题,都是将a换掉,只留,,然后将这个不等式变形为含的不等式,然后令,再利用导数证明.
试题解析:(I)由题知f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx的定义域为(0,+∞),
且.
又∵f(x)的图象在x=处的切线与直线4x+y=0平行,
∴,
解得a=-6. 4分
(Ⅱ),
由x>0,知>0.
①当a≥0时,对任意x>0,>0,
∴此时函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
②当a<0时,令=0,解得,
当时,>0,当时,<0,
此时,函数f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞). 9分
(Ⅲ)不妨设A(,0),B(,0),且,由(Ⅱ)知,
于是要证<0成立,只需证:即.
∵, ①
, ②
①-②得,
即,
∴,
故只需证,
即证明,
即证明,变形为,
设,令,
则,
显然当t>0时,≥0,当且仅当t=1时,=0,
∴g(t)在(0,+∞)上是增函数.
又∵g(1)=0,
∴当t∈(0,1)时,g(t)<0总成立,命题得证. 14分
核心考点
试题【设函数.(Ⅰ)若在x=处的切线与直线4x+y=0平行,求a的值;(Ⅱ)讨论函数的单调区间;(Ⅲ)若函数的图象与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为,证明.】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B.2 | C. | D.8 |
A. | B.2 | C. | D.8 |
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若函数有两个极值点,且,求证:;
(Ⅲ)设,对于任意时,总存在,使成立,求实数的取值范围.
(1)求实数的值;
(2) 求函数在区间上的最小值;
(Ⅲ)若函数的图像上存在两点,使得对于任意给定的正实数都满足是以为直角顶点的直角三角形,且三角形斜边中点在轴上,求点的横坐标的取值范围.
A. | B. | C. | D. |
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