题目
题型:不详难度:来源:
(1)求实数的值;
(2) 求函数在区间上的最小值;
(Ⅲ)若函数的图像上存在两点,使得对于任意给定的正实数都满足是以为直角顶点的直角三角形,且三角形斜边中点在轴上,求点的横坐标的取值范围.
答案
解析
试题分析:(1)求实数的值求导数,根据函数在点处的切线的斜率是,由导数的几何意义,及当时,,对函数求导数得,,依题意,可求出,又因为图象过坐标原点,则,即可求得实数的值;(2)求函数在区间上的最小值,当时,,对函数求导函数,令,解出的值,确定函数的单调性,计算导数等零点与端点的函数值,从而可得函数在区间上的最小值;(Ⅲ)设,因为中点在轴上,所以,根据,可得,分类讨论,确定函数的解析式,利用,即可求得结论.
试题解析:(1)当时,,
依题意,
又 故 3分
(2)当时,
令有,故在单调递减;在单调递增;
在单调递减.又,
所以当时, 6分
(Ⅲ)设,因为中点在轴上,所以
又 ①
(ⅰ)当时,,当时,.故①不成立 7分
(ⅱ)当时,代人①得:
,
无解 8分
(ⅲ)当时,代人①得:
②
设,则是增函数.
的值域是. 10分
所以对于任意给定的正实数,②恒有解,故满足条件.
(ⅳ)由横坐标的对称性同理可得,当时,
,代人①得:
③
设,令,则由上面知
的值域是的值域为.
所以对于任意给定的正实数,③恒有解,故满足条件。 12分
综上所述,满足条件的点的横坐标的取值范围为 14分
核心考点
试题【已知函数的图像过坐标原点,且在点 处的切线斜率为.(1)求实数的值;(2) 求函数在区间上的最小值;(Ⅲ)若函数的图像上存在两点,使得对于任意给定的正实数都满足】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
(Ⅰ)若,求函数的单调区间和极值;
(Ⅱ)设函数图象上任意一点的切线的斜率为,当的最小值为1时,求此时切线的方程.
(Ⅰ)若函数在上为增函数,求实数的取值范围;
(Ⅱ)当且时,证明: .
A. | B. | C. | D. |
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