题目

题型：不详难度：来源：

（2013•浙江）已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（e^x﹣1）（x﹣1）^k（k=1，2），则（　　）

A．当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值

B．当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值

C．当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值

D．当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值

答案

C

解析

当k=1时，函数f（x）=（e^x﹣1）（x﹣1）．
求导函数可得f"（x）=e^x（x﹣1）+（e^x﹣1）=（xe^x﹣1），
f"（1）=e﹣1≠0，f"（2）=2e²﹣1≠0，
则f（x）在在x=1处与在x=2处均取不到极值，
当k=2时，函数f（x）=（e^x﹣1）（x﹣1）²．
求导函数可得f"（x）=e^x（x﹣1）²+2（e^x﹣1）（x﹣1）=（x﹣1）（xe^x+e^x﹣2），
∴当x=1，f"（x）=0，且当x＞1时，f"（x）＞0，当x₀＜x＜1时，f"（x）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
在（x₀，1）上是减函数，从而函数f（x）在x=1取得极小值．对照选项．
故选C．