题目
题型:不详难度:来源:
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)当a>0,且a为常数时,若函数h(x)=x[g(x)+1]对任意的x1>x2≥4,总有成立,试用a表示出b的取值范围;
(3)当时,若对x∈[0,+∞)恒成立,求a的最小值.
答案
解析
试题分析:(1)利用导数判断出函数的单调性,即可求出的最小值;(2)解决本题的关键是由“对任意的x1>x2≥4,总有成立”得出“在上单调递增”,从而再次转化为导函数大于0的问题求解;(3)通过构造函数,转化为对恒成立,于是转化为求在上的最大值问题求解.解题过程中要注意对参数的合理分类讨论.
试题解析:(1)∵,令,得
∴在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增
∴在处取得最小值
即; 4分
(2)由题意,得在上单调递增
∴在上恒成立
∴在上恒成立 5分
构造函数
则
∴F(x)在上单调递减,在上单调递增
(i)当,即时,F(x)在上单调递减,在上单调递增
∴
∴,从而 7分
(ii)当,即时,F(x)在(4,+∞)上单调递增
,从而 8分
综上,当时,,时,; 9分
(3)当时,构造函数
由题意,有对恒成立
∵
(i)当时,
∴在上单调递增
∴在上成立,与题意矛盾. 11分
(ii)当时,令
则,由于
①当时,,在上单调递减
∴,即在上成立
∴在上单调递减
∴在上成立,符合题意 12分
②当时,
∴在上单调递增,在上单调递减
∵
∴在成立,即在成立
∴在上单调递增
∴在上成立,与题意矛盾 13分
综上,a的最小值为1 14分
核心考点
试题【已知函数,其中a,b∈R(1)求函数f(x)的最小值;(2)当a>0,且a为常数时,若函数h(x)=x[g(x)+1]对任意的x1>x2≥4,总有成立,试用a表】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当a=3,b=-1时,求函数f(x)的最小值;
(2)若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为2x-3y-e=0(e=2.71828 为自然对数的底数),求a,b的值;
(3)当a>0,且a为常数时,若函数h(x)=x[f(x)+lnx]对任意的x1>x2≥4,总有成立,试用a表示出b的取值范围.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若a=1,函数在区间(0,+)上为增函数,求整数m的最大值.
(1)若函数在区间其中a >0,上存在极值,求实数a的取值范围;
(2)如果当时,不等式恒成立,求实数k的取值范围.
(1)若a = 3,b = -9,求函数f(x)的极值;
(2)若曲线E上存在点P,使曲线E在P点处的切线与x轴平行,求a,b的关系.
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