题目

题型：北京模拟题难度：来源：

已知函数，其中e为自然对数的底数，
（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线与坐标轴围成的面积；
（Ⅱ）若函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e⁵，求a的值。

答案

解：（Ⅰ），
当a=2时，，，f(1)=-e，
所以曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y=ex-2e，
切线与x轴、y轴的交点坐标分别为（2，0），（0，-2e），
所以，所求面积为。
（Ⅱ）因为函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点，
所以，方程在（0，+∞）内存在两个不等实根，
则，
所以a＞4，
设为函数f(x)的极大值点和极小值点，则，
因为，
所以，
即，
解得：a=5，
此时f(x)有两个极值点，所以a=5。