题目

题型：0107 模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x²+a（a为常数），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）的图象的切点的横坐标为1。
（1）求直线l的方程及a的值；
（2）当k＞0时，试讨论方程f（1-x²）-g（x）=k的解的个数。

答案

解：（1）
故直线l的斜率为1，切点为
即
∴ ①
又∵
∴，切点为
∴，即 ②
比较①和②的系数得
∴。
（2）由，即
设

令，解得

由函数y₁在R上各区间上的增减及极值情况，可得
①当时有两个解；
②当时有3个解；
③当时有4个解；
④当k=ln2时有2个解；
⑤当时无解。