题目
题型:江苏模拟题难度:来源:
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0,求实数a的值;
(2)求证:f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1;
(3)若a<0,且对任意x1,x2∈(0,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数a的取值范围。
答案
所以曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为1-a,
因为曲线y=f(x)在x=1处的切线为3x-y-3=0,
所以1-a=3,解得a=-2;
(2)①充分性,当a=1时,,
所以当x>1时,f′(x)>0,所以函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;
当0<x<1时,f′(x)<0,所以函数f(x)在(0,1)上是减函数,
所以f(x)≥f(1)=0;
②必要性:,其中x>0,
(ⅰ)当a≤0时,因为f′(x)>0恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)上是增函数;
而f(1)=0,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,与f(x)≥0恒成立相矛盾,所以a≤0不满足题意;
(ⅱ)当a>0时,因为当x>a时,f′(x)>0,所以函数f(x)在(a,+∞)上是增函数;
当0<x<a时,f′(x)<0,所以函数f(x)在(0,a)上是减函数,
所以f(x)≥f(a)=a-1-alna,
因为f(1)=0,所以当a≠1时,f(a)<f(1)=0,此时与f(x)≥0恒成立相矛盾,
所以a=1;
综上所述f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1;
(3)由(2)可知,当a<0时,函数f(x)在(0,1]上是增函数,
又函数在(0,1]上是减函数,
不妨设,
则,
所以等价于,
即,
设,
则等价于函数h(x)在区间(0,1]上是减函数,
因为,
所以在x∈(0,1]上恒成立,
即在x∈(0,1]上恒成立,即a不小于在区间(0,1]内的最大值,
而函数在区间(0,1]上是增函数,
所以的最大值为-3,
所以a≥-3,
又a<0,所以a∈[-3,0)。
核心考点
试题【已知函数f(x)=x-1-alnx(a∈R),(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0,求实数a的值;(2)求证:f(x)≥0恒成立的充】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求f′()的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)设函数g(x)=[f(x)-x3]ex,若函数g(x)在x∈[-3,2]上单调,求实数C的取值范围。
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=1平行,求a的值;
(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值.
(1)若曲线y=f(x)在点(2 ,f(2))处与直线y=8相切,求a,b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值点。
(1)若a=2,求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)设g(x)=x2-2x+2,若对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围。
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