题目

题型：北京模拟题难度：来源：

已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R)，
(1)若a=2，求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)设g(x)=x²-2x+2，若对任意x₁∈(0，+∞)，均存在x₂∈[0，1]，使得f(x₁)＜g(x₂)，求a的取值范围．

答案

解：(1)由已知，f′(1)=2+1=3，
故曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为3．
(2)，
①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f′(x)＞0，
所以f(x)的单调递增区间为(0，+∞)；
②当a＜0时，由f′(x)=0，得，
在区间上，f′(x)＞0，在区间上，f′(x)＜0，
所以，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为。
(3)由已知，转化为，g(x)_min=2，
由(2)知，当a≥0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意；
当a＜0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，故f(x)的极大值即为最大值，
，
所以，
解得。