题目
题型:模拟题难度:来源:
(1)证明曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线经过y轴上一个定点;
(2)若f′(x)>(a-3)x2对x∈(2,3)恒成立,求a的取值范围;(参考公式:3x3-x2-2x+2=(x+1)(3x2-4x+2))
(3)讨论函数f(x)的单调区间。
答案
f"(2)=6+a,
曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线为y-(2a+4)= (6+a)(x-2)
当x=0时,由切线方程得y=-8,
所以切线经过y轴上的定点(0,-8)。
(2)由f"(x)>(a-3)x2得
对
所以
设
则
g(x)在区间(2,3)上单调递减
所以
则a的取值范围为。
(3)函数的定义域为(1,+∞)
若a≥-6,则f"(x)≥0,f(x)在定义域(1,+∞)上单调递增;
若a<-6,解方程
得
x1>x2>1,当x>x1或1<x<x2时,f"(x)>0;
当x2<x<x1时,f"(x)<0,
所以f(x)的单调增区间是(1,x2)和(x1,+∞),单调减区间是[x2,x1]。
核心考点
试题【已知函数f(x)=x2+ax+2ln(x-1),a是常数。(1)证明曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线经过y轴上一个定点;(2)若f′(x)>(a-3】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)证明:曲线y=f(x)在x=0的切线过点(2,2);
(2)若f(x)在x=x0处取得最小值,x0∈(1,3),求a的取值范围。
(1)当a=2时,求曲线y= f(x)在x=1处的切线方程;
(2)若不等式f(x)≥-1对x∈(0,e]恒成立,求实数a的取值范围。
(1)若函数f(x)在x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直,且f(-1)=0,求函数f(x)的解析式;
(2)若f(x)在区间[0,2]上单调递减,求b的取值范围.
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